\documentclass[spanish,a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{array}

\author{G. Sebasti\'an Pedersen \\
\small{\texttt{(sebasped@gmail.com)}}
}
\title{Gr\'aficos de Campos Escalares y Curvas de Nivel}
\date{\small\textsf{Versi\'on 1: abril de 2011}}

\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
Se tratan gr'aficos de funciones de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, y los gr'aficos de algunas de sus curvas de nivel.
\end{abstract}


\section*{Gr'aficos de funciones de $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$}
Consideremos la siguiente funci'on: $$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \qquad \qquad f(x,y)=x+y$$ Esta funci'on, dado un vector de $\mathbb{R}^2$ devuelve un n'umero en $\mathbb{R}$. Es decir que $f$ es un campo escalar. Por ejemplo:
\begin{align*}
f(0,1) &=  1 \\
f(2,3) &= 5 \\
f(-1,4 ) &= 3 \\
f\left(-2,-\tfrac{1}{2}\right) &= -\tfrac{7}{2}=-3,5 \\
f(-1,-1) &= -2 \\
f(1,-1) &= 0
\end{align*}
Lo que vamos a hacer para graficar a esta funci'on es lo siguiente: en el plano $(X,Y)$ vamos a graficar los puntos del dominio, y la altura en el eje $Z$ va a estar dada por su imagen. Recordar que $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Por ejemplo:\\

Si $f(2,3)=5$ entonces me paro en el $(2,3)$ del plano $(X,Y)$, y me muevo hasta altura 5 en el eje $Z$:

\vspace{2cm}
FALTA GR'AFICO.
\vspace{2cm}

Si $f(-1,-1)=-2$ entonces graficamos:

\vspace{2cm}
FALTA GR'AFICO.
\vspace{2cm}

Si $f(0,1)=1$ entonces graficamos:

\vspace{2cm}
FALTA GR'AFICO.
\vspace{2cm}

Entonces nos va quedando algo as'i:

\vspace{2cm}
FALTA GR'AFICO.
\vspace{2cm}

\fbox{AC'A VER EL PDF DE LOS GR'AFICOS DE CAMPOS ESCALARES.}\\


\emph{Para tener presente:}

\begin{tabular}{| m{5.5cm} | m{6cm} |}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Tipo de funci'on}} & \multicolumn{1}{c|}{\textsf{Gr'aficos}} \\
\hline

Funciones a valores vectoriales: 

$\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ & Le graficamos la $Im(f)\subseteq\mathbb{R}^2$, que la llamamos la \emph{trayectoria}. \\
\hline
Campos Escalares: $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ & Anteriormente les graficamos el $dom(f)\subseteq\mathbb{R}^2$. 

Ahora hacemos el gr'afico de la funci'on propiamente dicho, que est'a en $\mathbb{R}^3$. \\
\hline
\end{tabular}


\section*{Curvas de Nivel}

Dada una funci'on de $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, una \emph{curva de nivel} para esa funci'on va a ser el siguiente conjunto: $$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;/\; f(x,y)=constante\}$$ Por ejemplo sea: $$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \qquad \qquad f(x,y)=x+y$$ y grafiqu'emosle algunas curvas de nivel: 

\begin{itemize}
\item{$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;/\; f(x,y)=1\}$. 

Veamos: de $f(x,y)=1$ tenemos que $x+y=1$, o sea que \fbox{$y=1-x$}.

\vspace{2cm}
FALTA GR'AFICO.
\vspace{2cm}

Es decir que sobre toda la recta $y=1-x$ vale siempre $z=1$.
}
\item{$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;/\; f(x,y)=0\}$. 

Veamos: de $f(x,y)=0$ tenemos que $x+y=0$, o sea que \fbox{$y=-x$}.

\vspace{2cm}
FALTA GR'AFICO.
\vspace{2cm}

Es decir que sobre toda la recta $y=-x$ vale siempre $z=0$.
}
\end{itemize}

\fbox{AC'A VER EL PDF DE LOS GR'AFICOS DE CURVAS DE NIVEL.}\\

Otro ejemplo: sea $$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \qquad \qquad f(x,y)=x^2+y^2$$ 

\begin{itemize}
\item{$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;/\; f(x,y)=4\}$. 

Veamos: de $f(x,y)=4$ tenemos que \fbox{$x^2+y^2=4$}, o sea que es una cirfunferencia de centro $(0,0)$ y radio igual a $2$.

\vspace{2cm}
FALTA GR'AFICO.
\vspace{2cm}

Es decir que sobre toda la circunferencia $x^2+y^2=4$ vale siempre $z=4$.
}
\item{$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;/\; f(x,y)=-1\}$. 

Veamos: de $f(x,y)=-1$ tenemos que $x^2+y^2=-1$, y esta ecuación \emph{no tiene soluci'on}, pues siempre vale que $x^2\geq 0$ y que $y^2\geq 0$.

Es decir que en este caso \emph{no hay curva de nivel}.
}
\end{itemize}

\fbox{AC'A VER EL PDF DE LOS GR'AFICOS DE CURVAS DE NIVEL.}\\
\end{document}

